Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also Thema heute Induktion. So, ich möchte mich einmal synchronisieren mit dem Lehrplan A

der Bayerischen Gymnasien und B von Ingenieur-Matte. Also wer hat von, zumindest das Stichwort

Induktion oder vollständige Induktion schon mal gehört? Das sind alle. Wer kennt es aus der

Schule? Das sind vergleichsweise weniger, also sprich es kennen alle aus Ingenieur-Matte oder

was? Ja, gut. Ja, das heißt also sprich, den ersten Absatz, der jetzt kommt, den kennen

Sie schon. Ich verspreche Ihnen, dass was danach kommt, noch nicht. So, also die Induktion,

die Sie vermutlich kennen, ist diejenige über den natürlichen Zahlen. Und ich werde das jetzt mal

formal hinschreiben, das Induktionsprinzip. Naja, nicht überformalisiert, nur so wie Sie es

wahrscheinlich kennen. Das ist nicht hübsch geworden. Also, wenn folgende zwei Bedingungen

gelten. Und zwar, erstens der sogenannte Induktionsanfang.

So, wenn Folgendes genauer gesagt gilt für irgendeine Eigenschaft P von natürlichen Zahlen.

Ich bin absichtlich so ein bisschen schwammig damit, was ich mit einer Eigenschaft P meine.

Es ist kein unwichtiger Punkt, aber wir werden nie auf eine Stelle kommen, wo das relevant wird.

So, also irgendeine Eigenschaft P von natürlichen Zahlen. Und wenn wir also zeigen können,

erstens Induktionsanfang. P gilt von Null, also Null hat diese Eigenschaft. Und wenn wir

zweitens zeigen können, den Induktionsschritt und die Natur dieses Induktionsschrittes verursacht

erfahrungsgemäß regelmäßig Verständnisschwierigkeiten. Der Induktionsschritt ist eine allquantifizierte

Aussage, die muss also für alle natürlichen Zahlen N gelten. Folgt, dass P für den Nachfolger

der natürlichen Zahl, also für N plus 1 gilt, wenn P für N gilt. So, also hier drin stecken

also zwei Dinge, auf die man aufpassen muss. Also erstens, das ist eben wie gesagt etwas,

das muss für alle N gelten. Und zweitens, das was für so ein individuelles N gelten

muss, ist eine Implikation, eine Wenn-Dann Aussage. Wenn N P erfüllt, dann erfüllt

N plus 1 auch P. So, das heißt, wir haben hier eine Annahme drin stecken, also das hier.

Das hier ist die Induktionsannahme oder auch Induktionsvoraussetzung, naja, wenn man es

abkürzt, besser Induktionsvoraussetzung, weil es sich sonst genauso abkürzt wie Induktionsanfang.

Das heißt, das Durchführen des Induktionsschrittes beinhaltet, dass man sich eine beliebige natürliche

Zahl N vorgibt, also nicht etwa zwischendurch klammheimlich N durch 25 ersetzt oder so,

und von dieser natürlichen Zahl N annimmt, dass sie P erfüllt und dann loslegt und zeigt,

dass die nächste natürliche Zahl N plus 1 P dann auch erfüllt. So, und was dann folgt,

wenn wir sich das durchgezogen haben. Dann gilt P für alle natürlichen Zahlen N. Ja,

man muss sich das vorstellen, also dann hat man Ihnen sicher schon mal Intuition zu geliefert

in der einen oder anderen Art. Man muss sich das vorstellen wie eine Maschine, der Induktionsschritt,

der transportiert einen immer von einer natürlichen Zahl zur nächsten. Der Induktionsanfang stellt

sicher, dass wir da einen Anker haben, das heißt also, das geht praktisch hierbei Null

los, Null hat die Eigenschaft, wir wissen, wenn Null die Eigenschaft hat, hat eins die

auch, also hat eins die Eigenschaft, wenn eins die Eigenschaft hat, hat zwei sie auch,

also hat zwei die Eigenschaft, das heißt diese Maschine rattert da ad infinitum über die

natürlichen Zahlen drüber und zeigt uns, dass alle natürlichen Zahlen unsere Eigenschaft

haben. So, Sie kennen sicher Beispiele dafür und das folgende Beispiel ist auch nicht irgendwie

für seinen besonderen Grad an der Leuchtung ausgewählt, sondern nur dafür, dass es sich

also relativ schnell hier durchziehen lässt. Eine Zwischenfrage. Ja, das ist eine Variante,

also hier wird vorgeschlagen, dass wir den Induktionsschritt erst ab so einer bestimmten

unteren Schranke losgehen lassen, da muss man verdammt aufpassen, weil das natürlich

bedeutet, dass man dann mehr Induktionsanfänge hat, nämlich alles bis zu diesem Null, bei

dem man das dann anfangen lässt, den Induktionsschritt ist dann ein Induktionsanfang. Da gibt es

übrigens glaube ich auch Übungsaufgaben zu in unserem Programm, die ist die Geschichte

mit den Pferden, die alle die gleiche Farbe haben, die ist glaube ich von der Natur. So,

also ein Beispiel Standard. Ich behaupte mal was über natürliche Zahlen, das kennen Sie

vermutlich schon. Für alle N gilt, also jede Aussage, die ich über eine Induktion beweisen